Cuestionario Didáctico

En base a la teoría dada en clase, la teoría mostrada en el blog y los ejemplos demostrados, resolver los siguientes ejercicios:

1.- Se desea diseñar un controlador PID que anule el error en por lo menos 10%, que obtenga la máxima rapidez de respuesta con un tiempo de asentamiento menor de 1.5 seg y que ante referencia escalón tenga una sobreoscilación menor del 4.3%.

2.- Dada la siguiente función de transferencia de una planta:

Diseñar un PD de tal forma que los polos dominantes esten ubicados en:

3.- Considere un sistema con una planta inestable como el que se muestra en la figura:

Diseñe un controlador proporcional derivativo de tal forma que el factor de amortiguamiento sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada sea 0.5 rad/seg.

4.-Para un sistema de control de retroalimentación simple cuya función de transferencia a lazo abierto es la que se muestra acontinuación se requiere diseñar un compensador tal que el sistema a lazo cerrado cumpla con los siguientes requerimientos:

5.- Considere el siguiente proceso de un tanque:

Considere que se desea instalar un controlador PID (denotado con las siglas LC/10) para la regulación del nivel del tanque. Cuando el flujo de entrada se mantiene 2 gpm (galones por minuto) el nivel se encuentra en 3 metros, si la entrada de agua varía a 4.5 gpm la respuesta del nivel en el tanque es la siguiente:

Caracterizar el proceso como un sistema de primer orden mas tiempo muerto, y buscar en la tabla indicada los parámetros del controlador.

Prueba del Proceso Escalón

Existen una serie de métodos experimentales de ajuste de controladores PID. Estos métodos no requieren obtener un modelo del proceso, ni realizar cálculos matemáticos. Se basan en realizar un experimento sobre el proceso y aplicar unas sencillas reglas.

Método basado en la curva de reacción o Prueba del Proceso Escalón

1.- Con el controlador en posición manual (es decir, el circuito abierto), se aplica al proceso un cambio escalón en la señal de salida del controlador. La magnitud del cambio debe ser lo suficientemente grande como para que se pueda medir el cambio consecuente en la señal de salida del transmisor, pero no tanto como para que las no linealidades del proceso ocasionen la distorsión de la respuesta.

2.- La respuesta de la señal de salida del transmisor se registra con graficador de papel continuo, o sistema de adquisición de señal digital. La graficación debe cubrir el período completo de la prueba, desde la introducción de la prueba escalón hasta que el sistema alcance un nuevo estado estacionario. La prueba puede durar entre unos cuantos minutos y varias horas, dependiendo de las características de respuesta del proceso.

Consideremos el siguiente proceso de un intercambiador de calor:

El desempeño del circuito se describe a continuación:

Las variaciones en la temperatura de salida se captan en el sensor transmisor y se envían al controlador, donde se realiza la comparación con el valor de referencia o set point y se toma la decisión de corrección, la cual, a su vez, ocasiona que varie la posición de la válvula de control y, consecuentemente, el flujo de vapor, varíen; las variaciones en el flujo de vapor ocasionan que varíe la temperatura de salida para alcanzar el valor de referencia, con lo que se completa el circuito.

Como se aplicaría el método de la curva de reacción?

Consiredemos que se desconecta el controlador y se lleva el intercambiador a un valor estable de temperatura de salida: si perturbamos el proceso con una variación del flujo de vapor ( m(t) ), por ejemplo una apertura de la valvula con una señal similar a un escalón y graficamos la respuesta de temperatura (C(t)):

Si se obtiene una curva S como la que se observa en la figura anterior el sistema se puede caracterizar como un sistema de primer orden más tiempo muerto.

Donde K representa la variación de la salida (temperatura) y la variación en la emtrada (vapor)

Para hallar el valor de la constante de tiempo tao y el valor de retardo to se emplea un método gráfico:

Donde:
Luego se precede a buscar los páramteros del controlador en tablas:

Diseño de Controladores PID por medio del lugar de las raíces

La estrategia de diseño de controladores PID mediante el lugar de las raíces consiste en:

1. Elegir un par de polos complejos adecuados para que en bucle cerrado sean los dominantes y definan una respuesta del sistema correcta (con poca sobreoscilación y un tiempo de establecimiento suficientemente pequeño).

2. Elegir el tipo de controlador (puede ser P, PD, PI ó PID).

3. Fijar los ceros del PID para que el lugar de las raíces pase por los polos anteriores.

4. Obtener el valor de Kc (ganancia del controlador) para que los polos en bucle cerrado sean los deseados.

5. Obtener el resto de polos y ceros en bucle cerrado y comprobar la respuesta del sistema resultante, volviendo al punto 1 si fuera necesario.

Punto 1.

Para elegir el par de polos complejos conjugados que definirán la respuesta del sistema controlado se realiza la siguiente suposición:

Se supondrá que en bucle cerrado hay un par de polos complejos conjugados que son dominantes, es decir, el resto de polos son más rápidos que éstos.

Si la hipótesis es cierta, el comportamiento del sistema final es muy similar al de un sistema de segundo orden estándar. En este tipo de sistema, las características de la respuesta dependen de los polos o de la ecuación característica.

Las especificaciones dinámicas en el dominio del tiempo más empleadas son:

Sobredisparo:

Tiempo de asentamiento Tiempo pico y error en régimen permanente.

Recordando que la ecuación de los polos dominantes, resultantes de una dinámica de segundo orden, esta dada por:
Puede observarse de las ecuaciones anteriores que, el tiempo de establecimiento depende únicamente de la parte real de los polos y la sobreoscilación depende únicamente del amortiguamiento.

Lo habitual es que se fijen los polos de forma que la sobreoscilación del sistema en bucle cerrado sea entre el 4 y el 10%, es decir, que la parte imaginaria tenga un valor similar o algo mayor que la parte real.

Así pues, se determinan las características deseadas de la respuesta y a partir de ellas se calcula el par de polos:

*.-Se fija el tiempo de establecimiento deseado. De aquí se obtiene la parte real de los polos necesarios.

*.-Se fija la sobreoscilación deseada (puede ser un rango, por ejemplo entre el 5 y el 10%). De aquí se obtiene el amortiguamiento y de ahí la parte imaginaria necesaria.

Punto 2.

Para elegir el tipo de controlador (P, PD, PI ó PID) hay que tener en cuenta lo siguiente:

2.1 El término integral (PI ó PID) es necesario si se quiere garantizar que el error en régimen permanente (cuando pase mucho tiempo) sea nulo, es decir, si se quiere que la salida del proceso alcance exactamente el valor de la referencia.

2.2 La respuesta más rápida se consigue con el controlador PD (sin término integral), después con el PID, después con el P, y la más lenta con el controlador PI.

2.3 El término derivativo requiere que la señal del sensor no sea demasiado ruidosa. Si la señal del sensor es muy ruidosa el término derivativo puede dar problemas, por lo que puede ser conveniente un controlador P ó PI.

Lo más habitual es elegir el controlador PID completo, pues suele ser un buen compromiso entre rapidez de respuesta y error.

Punto 3.

Para fijar los ceros del controlador la estrategia depende del tipo de controlador. Si el controlador es PD ó PI, únicamente se tiene un cero, por lo que éste se fijará para que el lugar de las raíces pase por el par de polos deseados (solo habrá una solución en general).

Si el controlador es PID, entonces hay dos ceros, y existen infinitas soluciones. Lo más habitual es forzar a que los dos ceros sean iguales, con lo que únicamente queda una incógnita, que se fija igual que en el caso anterior.
También se puede fijar uno de ellos de forma arbitraria (por ejemplo de un polo del proceso) y elegir el otro para que el lugar de las Raíces pase por el par de polos.

Punto 4

Otra forma muy utilizada para hallar lo ceros y polos, y en consecuencia los parámetros del controlador es despejar de la ecuación característica la función de transferencia del controlador.

La función caracteristica de un sistema de lazo cerrado es:

Despejando la función de transferencia del regulador o controlador se tiene:

Para calcular el controlador se sustituye la variable s por el polo dominante previamente fijado y que satisfacen la ecuación característica.

Con esta ultima expresión se obtiene el regulador en su parte real y parte imaginaria. A partir de la expresión de las mismas se detrmina la ganancia y los prámetros del controlador.

Punto 5:

Por utlimo se verifica que cumpla las especificaciones y el error en regimen permanente.

¿CUANDO UN CONTROL PID ES SUFICIENTE?

Generalmente, el control PID es suficiente para procesos donde la dinámica dominante es de segundo orden. Para estos procesos no existe mayor beneficio con el uso de un controlador más sofisticado. Un caso típico de la acción derivativa, introducida para mejorar la respuesta, es cuando la dinámica del proceso está caracterizada por constantes de tiempo que difieren en magnitud. La acción derivativa puede dar buenos resultados para aumentar la velocidad de respuesta. El control de temperatura es un caso típico. La acción derivativa es también beneficiosa cuando se requiere un control más fino para un sistema de alto orden.
La dinámica de alto orden limitaría la cantidad de ganancia proporcional para un buen control. Con la acción derivativa, se mejora el amortiguamiento ya que se puede utilizar una ganancia proporcional más alta y elevar la velocidad de la respuesta transitoria.

Cuando los sistemas son de orden mayor de 2, casi siempre se puede diseñar una respuesta que se adapte a una dinámica dominante de segundo orden. Un método clásico ampliamente muy utilizado esta basado en el método del lugar de las raíces.

CUESTIONARIO

1.- Defina los siguientes conceptos:
Sistema, Sistema de Control, Sistema Dinámico, Planta, Proceso, Variables de entrada, Variables de Control, Variables de Salida, Perturbaciones

2.- En que se basa el principio del control realimentado.

3.- Cuales son los objetivos del control realimentado y que ventajas ofrece.

4.- Cual es la función del controlador. Que criterios se deben tomar en cuenta para su diseño?

5.- Explique las diferencias entre un sistema a lazo abierto y un sistema a lazo cerrado.

6.- Describa el efecto que tiene cada acción del controlador (P, I, D) sobre la salida de un sistema.

ACCIÓN DEL PID

El controlador PID es el controlador lineal más utilizado en la industria. La ecuación diferencial que lo define es: mientras la función de transferencia es:
Parámetros característicos:

· Ganancia proporcional Kp (o banda proporcional BP=100/Kp ).
· Tiempo derivativo: Td.
· Tiempo integral Ti.

El controlador PID es una combinación de las tres acciones básicas de control:

Acción proporcional.
En general si se aumenta el valor de Kp: mejora la rapidez, disminuye el error, y aumenta la sobreoscilación.

Acción integral:
- permite anular el error en régimen permanente
- implica un retraso: tiende a inestabilizar
- a menor Ti más rápido se anula el error, pero el sistema tiende a ser más inestable

Acción derivada:
- efecto anticipativo estabilizador (es una predicción del valor futuro del error)
- tiende a reducir la sobreoscilación

Polos y ceros del controlador PID

Si se factoriza la función de transferencia del controlador PID se obtienen los polos y ceros del mismo:
· El regulador PID introduce un polo en s=0 y dos ceros:

Igualando coeficiente a coeficiente del polinomio del numerador se obtienen las relaciones:

· El regulador PD introduce un cero:

· El regulador PI introduce un cero y un polo s=0:
La estrategia de diseño del controlador consistirá en definir los ceros (zd y zi) y la constante KR para lograr que el sistema en bucle cerrado tenga los polos adecuados. Una vez calculados estos parámetros, se utilizarán las relaciones anteriores para obtener los parámetros finales del controlador: Kp, Td y Ti.

EJEMPLO DE UN PID

El PID es relativamente de fácil construcción, se puede observar en las anteriores figuras el esquema de diseño electrónico para las funcionalidades básicas.

Ver enlace para más información. http://resistor.com.ar/?p=93